Великі математики

Піфагор і його школа

Великий стародавньогрецький вчений Піфагор народився на острові Самос в YІ ст. до н.е.В молоді роки Піфагор років 20 перебував в  Єгипті а потім ще 10 років у Вавілоні побував Єгипті, де ознайомлювався з математичними знаннями, які було нагромаджено в цих країнах протягом тисячоліть. Говорять, що він був допущений до святинь Єгипту, відвідав халдейських мудреців та персидських магів. Близько 530 р. до н.е. Піфагор переїхав до Кротону—грецьку колонію в Південній Італії, де заснував філософську школу - “союз піфагорійців”.          В сферу інтересів членів союзу входили наукові дослідження, релігійно-філософські пошуки, політична діяльність. Вони вели суровий образ життя, більш за все цінували сміливість і колективну дисципліну. Піфагорійці жили разом, в них було спільне майно, і навіть свої відкриття вони вважали спільним досягненням.

Діяльність союзу була оповита тайнами, тому ніяких текстів від ранніх піфагорійців не залишилося.

     Піфагорійці власні дослідження називали “марема”, що означає “науки” і ділили їх на чотири частини: арифметику, геометрію, астрономію і гармонію.

Піфагорійці багато й ґрунтовно займалися математикою, розглядаючи всі її питання з геометричної точки зору, і значно просунули її вперед. Але вони старано приховували свої дослідження і відкриття. Тільки після смерті Піфагора досягнення піфагорійців у галузі математики почали поступово поширюватись.

За переказами піфагорійці пояснювали, чому геометрія почала відкрито поширюватись, тим, що один з них загубив гроші громади і йому дозволили заробити їх викладанням геометрії.

 Через те що піфагорійці звичайно приписували свої відкриття Піфагорові, то тепер, через багато століть, важко встановити, які з них зробив Піфагор, а які  - його учні.

 Але в тому, що Піфагор, був талановитий математик, немає жодного сумніву.

Теорема Піфагора

Стародавні грецькі історики приписують честь відкриття цієї теореми грецькому вченому Піфагору.На цій підставі довго вважали, що до Піфагора ця теорема не булла відома і тому назвали її теоремою Піфагора.

    Але останнім часом удалося встановити, що визначена зустрічається у вавілонських текстах, які було написано за 1200 років до Піфагора. Знали її і в стародавній Індії. Можливо, що Піфагор дав перше повноцінне доведення цієї теореми.

    Стародавні єгиптяни, вавілоняни та інші народи стародавнього Сходу ще за 2000 років до н.е. знали, що трикутник із сторонами 3,4,5 ( який називають єгипетським ) - прямокутний. Є підстави вважати , що єгиптяни будували прямі кути на місцевості, користуючись вірьовкою, яку ділили на частини в 5,4 і 3 одиниці довжини.

  Цікаво, що саме такі пропорції археологи знаходять у розмірах тесаних плит піраміди Хефрена (в Єгипті).

   Теорема Піфагора є одним з найважливіших геометричних тверджень і відіграє основну роль у геометричних обчисленнях. Тепер відомо понад 150 доведень цієї теореми.

   Важливість теореми ілюструє такий факт. Наприкінці ХІХ ст. було відкрито на Марсі “канали”, які тривалий час вважали штучними. Для налагодження зв'язку з марсіанами запропонували на великому просторі Західносибірської низини побудувати гігантську геометричну фігуру. Якаб світилася.-рисунок теореми Піфагора, бо вважали, що ця теорема справедлива скрізь і що жителі будь-якої планети повинні зрозуміти такий сигнал. Передбачали, що, побачивши це зображення марсіани зроблять висновок, що на Землі живуть розумні істоти, і дадуть відповідь мовою математики. Адже математику вважають універсальною мовою Всесвіту

Фалес Мілетський (близько 624 -548 рр. до н.е.)

        Початки культури стародавньої Греції сягають у сиву давнину. У VІІ – V ст.. до н.е. на узбережжі Іонійського моря були розташовані квітучі грецькі міста – колонії Мілет, Ефест, Кротон та ін. Їх географічне положення сприяло розвитку економіки й культури. Греки наполегливо працювали над установленням тісних зв′язків з могутніми й культурними сусідніми державами Сходу, такими, як Єгипет, Фінікія, Вавілон. Зв′язки ці мали, насамперед, економічний характер і розвивались у формі торгівельних відносин, а це, природно, впливало на культуру грецьких колоній.

   У VІІ- VІ ст. до н.е. з′являються перші елементарні праці грецьких учених з астрономії, метеорології, геометрії, медицини тощо. Учені філософи того часу, спостерігаючи явища природи, робили практичні висновки. Розвиток мореплавства, хліборобства зумовлювали потребу глибшого вивчення явищ природи.

Зароджуються перші натурфілософські теорії. Найвидатнішим представником такої філософської течії, що творчо й плідно вивчала навколишній світ, була так звана Іонійська школа, заснована філософом і вченим Фалесом Мілетським.

Фалеса за давньою традицією відносять до так званих «семи мудреців» світу: він був одним з найвидатніших математиків свого часу. Історичних документів чи будь-яких першоджерел про життя вченого немає, бо його праці до нас не дійшли. Про діяльність Фалеса Мілетського ми дізнаємося лише з коментарів і переказів учених та авторів наукових праць пізнішого часу – Ендема Родоського, Діогена Лаерція, Прокла та ін. За цими переказами допитливий юнак ще в молоді роки вирушив у подорож до Єгип­ту, щоб ознайомитися з єгипет­ською культурою і вивчити природничі науки. Здібний та обдарований, Фалес не тільки швидко оволодів знаннями, що нагромадили єгипетські вчені, а й зробив ряд відкриттів у науці. Він самостійно обчислив висоту єгипетських пірамід за їхньою тінню, чим немало здивував єгипетського фараона Амазіса.

Повернувшись на батьківщину, Фалес заснував так звану Іонійську філософську школу, в якій ознайомлював учнів із своїми філософськими поглядами і передавав знання, здобуті в Єгипті. Фалес за своїми поглядами був матеріалістом. Він учив, що все суще не створене Богом, а само виникло з початкової стихії – води. Учні і послідовники Фалеса Мілетського розвивали і поглиблювали його науково-філософське вчення. Анаксімен доводив, що жива і нежива природа розвину­лась з повітря: внаслідок згущення виникли тверді і рідкі тіла, а в результаті розрідження – вогонь. Анаксімандр учив, що першоосновою світу є безконечна матерія. Він висував теорію розвитку з цієї матерії живих істот.

Фалес спрямовував зусилля своїх учнів на спостереження явищ при­води, на розробку нових важливих питань математики і астрономії. Іс­торики вважають, що Фалесу на­лежить доведення теореми про рів­ність вертикальних кутів, теорем про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, про рівність двох трикутників за стороною і двома прилеглими кутами. Він довів тео­рему про те, що вписаний у коло трикутник, одна із сторін якого є діаметром, прямокутний.

Фалес знайшов також розв'язання задачі на визначення відстані від корабля, що перебуває в морі, до гавані без безпосереднього вимірю­вання цієї відстані.

Можливо, Фалес уже знав власти­вості подібних фігур, принаймні рівнобедрених прямокутних трикутни­ків. Найбільшим досягненням його в математиці було введення у гео­метрію ідеї доведення. Геометрія як наука, в якій усі твердження доводились на основі аксіом, по­чинає розвиватися саме в Іонійській школі.

У галузі астрономії Фалесу і його учням приписують визначення три­валості року (365 днів), думку про те, що Земля є серединою Всесвіту і має кулясту форму. Як гадають історики, Фалес встановив, що по­перечник Сонця становить 1/720 час­тину його шляху, тобто відношення діаметра Сонця до довжини екліп­тики дорівнює 1/720. На той час цей результат був досить точним. Фалес передбачив сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н. е. Цей факт справив велике вра­ження на його сучасників.

Один з талановитих послідовни­ків Фалеса Анаксагор  (V ст. до н. е.) висловив думку, що небесні тіла складаються з каміння і не па­дають на Землю тому, що перебу­вають у постійному коловому швид­кому русі. Закони руху небесних тіл через дві тисячі років встановив великий німецький математик Йоганн Кеплер, а математично обгрун­тував їх великий англійський уче­ний Ісаак Ньютон.

Наукові дослідження у галузі ма­тематики, астрономії та інших наук Фалес поєднував з широкою дер­жавно-політичною діяльністю. Він був людиною високоосвіченою, муд­рою й енергійною. Особливо цінни­ми були його поради, що стосува­лися військової справи.

Гадають, що Фалес трагічно заги­нув на стадіоні під час великих олімпійських ігор, коли йому було майже 80 років. Про причини його загибелі існує кілька версій. Одна з них свідчить про те, що смерть сталася від сонячного удару, інша, що людський натовп, виходячи із стадіону, мимоволі заподіяв смерть старому мудрецеві. На пам'ятнику Фалесу, що стоїть серед широких ланів, вирізьблено: «Наскільки ма­ла ця гробниця, настільки велика слава цього царя астрономії в галузі зірок».

Філософські і наукові надбання Іонійської школи стали тим сприятливим грунтом, на якому почала бурхливо зростати і розвиватися наступні епохи славнозвісна еллінська культура

Піфагор Самоський (близько 580—500 pp. до н. е.)

Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник еллінської культури – філософ і математик Піфагор. Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося. 

За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н.е. на о.Самос біля іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї. Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда з м. Сіроса. Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту – центру тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природни­чих і математичних наук. Повернув­шись на о. Самос, Піфагор плану­вав створити філософську школу. Але з невідомих причин він незаба­ром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльно­сті. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристо­кратів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питан­ня філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших міс­тах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових чле­нів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати ні­чого про її засновника   Піфагора, якого вважали пророком. Члени пі­фагорійської школи мали спеціаль­ний знак – пентаграму (правильний п'ятикутник), за яким вони впізнавали один одного.

Щоб зрозуміти роль піфагорій­ської школи в розвитку математич­ної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містич­ного значення. Вони гадали, що речі — це відображення чисел, чис­ло — це закон і зв'язок світу, це си­ла, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу чис­ла можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських занят­тях — мистецтві, ремеслах, музиці.

Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжи­ни. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то зву­кова гармонія порушується.

Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальни його. Але це привело до деяких неправильних висновків. Наприклад, піфагорійці вважали, що радіуси небесних сфер (їх вони налічували 10), обертаючись навколо «центрального вогню», перебувають утакому самому відношенні, як і довжини струн, що утворюють гармонію. Вони твердили, що небо є число і гармонія. Позитивним тут був здогад про те, що земля рухається.

Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку робот в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі – непарні числа; злі – парні числа: досконалі – кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників (якщо з числа дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є 6 ( бо сума його дільників 1, 2, 3 дорівнює шести. Числа дружні – це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні т. д. Зокрема, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел. Піфагор геометрично довів, що суми послідовних непарних чисел починаючи з одиниці, є точними квадратами. Наприклад, 1+3 = 4  = 2², 1+3+б = 9 = 3², 1+3 + 5 + 7  = 16 = 4², 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² і т. д.

Вивчаючи натуральний ряд чисел піфагорійці встановили таку власти­вість сум послідовних чисел: 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 і т. д. Піфагор багато займався пропор­ціями і прогресіями. Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: ари­фметичну, геометричну і гармонічну.

Отже, Пі­фагора та його учнів числа цікави­ли тільки в теоретичному плані. Вивчення дій з числами піфагорійців цікавило мало.

Але дослідження, проведені піфа­горійцями над числами та їх влас­тивостями, поклали початок новій науці – геометричній алгебрі. Вели­чини розглядалися тут як відрізки. Це мало величезне значення для дальшого розвитку математики.

Дослідження Піфагора та його учнів у галузі геометрії також були досить успішними. Але і в геометрії вони шукали підтверджень своїх філософських ідеалістичних погля­дів і відповідно пояснювали геомет­ричні істини. Так, піфагорійці твер­дили, що всі геометричні тіла виз­начаються співвідношенням їх чис­лових характеристик. Куб, напри­клад, визначається числами 2, 6 і 8 за кількістю ребер, граней і вершин.  

Велику увагу піфагорійці приді­ляли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Можна припустити, що найпрості­ший з таких трикутників, так зва­ний єгипетський трикутник з сторо­нами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Прямокутний трикутник піфаго­рійці вважали найкращою і найдо­сконалішою фігурою. Одним із способів побудови такого трикутника був поділ правильного трикутника пополам. Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа ім'ям Піфагора, хоч вона була відо­ма задовго до нього вавілонянам. За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.  

Можливо, що вивчення властивос­тей прямокутних трикутників приве­ло піфагорійців до відкриття несу­мірності відрізків. Але це відкриття суперечило філософській теорії про «гармонію світу». Виявилося, що числом не можна виміряти довжину прямолінійного відрізка — діагоналі квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Пояснити це Піфагор та його учні не могли, тому і тримали своє відкриття в суворій таємниці.

Збереглась легенда, що один з піфагорійців, Гіпас, розголосив таємницю про ірраціональне число. Покараний богами за зраду, він загинув у морі під час бурі.

Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d, що  навколо однієї точки на площині можна розмістити 4 квадрати, 6 правильних трикутників, 3 правильні шестикутники. Вони вміли будувати правильний п'ятикутник, цей спосіб побудови до нас не дійшов.

Евклід у своїх творах приводить новий спосіб побудови такого трикутника, в якому не застосовується поділ радіуса описаного кола в кратному і середньому відношенні. Він спочатку будує вписаний рівнобедрений трикутник, у якому і при основі вдвоє більші від кута при вершині. Кути при основі мають по 72°, а при вершині — 36°. Якщо провести бісектриси кутів при основі, то коло поділиться на 5 рівних частин. (Це окрема задача).

Можливо, що піфагорійцям цей спосіб побудови правильного вписаного п'ятикутника був відомий.

Побудови правильних плоских фігур, зокрема п'ятикутника, а отже, і десятикутника, безпосередньо під­вели піфагорійців до побудови пра­вильних многогранників. За свідчен­нями деяких істориків Піфагор і йо­го учні вміли будувати всі п'ять видів правильних многогранників і, зокрема, такі складні многогранники, як додекаедр або ікосаедр. Це було на той час значним досягненням.

Деякі з істориків пізнішого часу свідчили, що піфагорійцям було ві­доме поняття ізопериметрії. Най­простіша ізопериметрична задача — це знаходження серед усіх кривих даного периметра тієї кривої, яка обмежує фігуру найбільшої площі. Піфагорійці знали розв'язок цієї за­дачі: кривою є коло. Просторовим аналогом ізопериметричної задачі є задача про відшукання замкненої поверхні заданої площі, яка обме­жує тіло найбільшого об'єму. Шука­ною поверхнею є сфера. При цьому, на догоду своїм релігійним уявлен­ням про світ, вони стверджували, що куля є найблагородніша просто­рова фігура, а круг — найдосконалі­ша плоска фігура.

В оцінці діяльності піфагорійців думки вчених розходяться, бо ні­яких письмових документів їхньої школи не залишилось. Проте з впе­вненістю можна вважати, що Піфа­гор та його учні своїми досліджен­нями внесли вагомий вклад у роз­виток еллінської культури.

Евклід (ІV-ІІІ ст. до н.е.)

Під час завойовницьких воєн цар Олександр Македонський заснував багато міст. Деякі з них, особливо Александрія, значно розвинулись. Грецькі архітектори збудували Александрію за докладно розробле­ним планом. Місто перетинали під прямим кутом дві магістралі. Тут були широкі вулиці й прямокутні квартали. Головна вулиця мала ши­рину 30 мі довжину 5,5 км. Близь­ко третини міста займали царські палаци, храми, будинки жерців, вельмож і багатіїв.

Після смерті Олександра Маке­донського його величезна держава розпалася. Єгиптом почала правити династія грецьких царів Птолемеїв. Щоб звеличити себе і підвладну державу, цар Птолемей І запрошу­вав до Александрії учених, поетів, скульпторів і філософів. Для них був збудований розкішний палац при храмі Муз – дев'ятьох  супутниць бога Аполлона. У греків ці Музи вважалися охоронцями наук і мистецтва, тому збудований пала) назвали Музейоном. Учені жили там на повному царському утриманні і займалися тільки науковими дослідженнями, філософією, поезієї і мистецтвом. Музейон був центром наукового і культурного життя Єгипту, своєрідною академією наук.

Він приваблював до себе освічених людей, учених та поетів і своєї чудовою бібліотекою, у сховища якої зберігалось понад п'ятсот тисяч рукописів. Серед учених, що жили і працювали у Музейоні, було багато грецьких математиків – Ератісфен, Герон та інші. Та найбільше для розвитку математики зробив геометр Евклід.

Історія не зберегла для нас достовірних відомостей про життя цього видатного вченого. Вважають, що Евклід народився в Афінах близько 325 р. до н.е. і на запрошення царя Птолемея І на початку III ст. до н.д. прибув до Александрії.

Працюючи в бібліотеці Музейону і упорядкуванням математичних манускриптів, Евклід створив славнозвісну працю з математики, яку назавав «Начала».

«Начала» Евкліда складаються з «книг»-сувоїв. Перші шість книг присвячені планіметрії, VII-X книги – арифметиці і несумірним величинам, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, XI-Х –стереометрії. І книга починається викладом 23 означень і 10 аксіом, причому перші п'ять з цих аксіом називаються «загальними поняттями», а решта – «постулатами» ( у різних списках «Начал» є різні кості аксіом і постулатів). Дальші означення містяться у вступах до інших книг. Формулюючи постулати, Евклід користується співвідношеннями рівності, які означаються «загальними поняттями» – аксіомами. Під розв'язанням задач Евклід розумів побудову за допомогою циркуля та лінійки. Зокрема, для Евкліда знайти площу або об'єм означало побудувати циркулем і лінійкою квадрат чи куб потрібної площі об'єму.

«Начала» Евкліда закінчувались побудовою за допомогою циркуля і лінійки ребер п'яти правильних многогранників, вписаних у сферу даного радіуса, і дослідженням здобутих несумірних величин.

Видатний учений подолав неабиякі труднощі, щоб систематизувати, узагальнити та довести багато складних  співвідношень  між  еле­ментами просторових і плоских фі­гур, які виражаються деякими чис­лами.

У той час ще не було не тільки буквеної символіки, а навіть знаків дій додавання, віднімання тощо. Усе записували словами та зображува­ли геометричними малюнками.

Тепер, користуючись запровадже­ною в XVI—XVII ст. буквеною сим­волікою, ми швидко і легко ви­водимо найрізноманітніші формули, які виражають залежності між різ­ними, у тому числі й геометричними, величинами. Наведемо хоч би такий приклад. Кожний учень 7 класу може швидко вивести формулу, за якою обчислюється квадрат суми двох чисел. Для цього досить суму чисел, позначених буквами, помно­жити саму на себе, тобто

(a + b)(a + b) =a² + 2ab + b².

Цю саму формулу Евклід виво­дить геометрично. Він пропонує на відрізку АВ побудувати  квадратABCD. Через точку Е (яка ділить АВ на два від­різки а і в) провести ЕР||ВС, побу­дувати діагональ BD і провести че­рез О пряму КМ||АВ. Потім дово­дить таку теорему:

«Якщо дану пряму АВ поділити у будь-якій точці на два відрізки, то квадрат, побудований на цілій лінії, дорівнює двом квадратам і двом прямокутникам, побудованим на цих відрізках».

Суть міркувань полягає в обґрунтуванні того, що чотирикутники МВЕО і POKD – квадрати, з чого випливає, що чотирикутники ОЕАК і СМОР – два рівні прямокутники.

Він пояснив що таке число ірра­ціональне. Такими числами виража­ються відношення довжин несумір­них відрізків. Можливо, що до їх вивчення Евклід прийшов, виводячи алгоритм (правило) знаходження спільної міри двох відрізків, тобто такого третього відрізка, який вкладається в першому і другому ціле число разів. Щоб знайти спільну міру двох відрізків, накладемо менший відрізок на більший так, щоб утворилася остача, менша від меншого відрізка, потім цю першу остачу відрізка (якщо вона є) —на менший відрізок, далі на першу остачу — другу, на другу — третю і т., аж поки якась з остач не вкладеться ціле число разів у попередній остачі. Це число і буде спільною мірою двох відрізків. Якщо ж процес нескінченний, то відрізки — несумісні. Процес, за допомогою якого знаходять спільну міру двох відрізків називають алгоритмом Евкліда.

Величезне значення діяльності Евкліда у тому, що він підсумував і узагальнив всі попередні досягнення грецької математики і створив фундамент для її дальшого розвитку. Історики вважають, що «Начала» — це обробка творів попередніх грецьких математиків X-IV ст до н. е. Історичне значення «Начал Евкліда полягає в тому, що це була перша наукова праця, в якій зроблено спробу дати аксіоматичну побудову геометрії.

Аксіоматичний метод, що є провідним у сучасній математиці, своїм виникненням великою мірою зобов'язаний Евкліду. Жодна наукова праця не мала такого великого успіху, як «Начала» Евкліда. З 1482 р. «Начала» витримали понад 500 видань багатьма мовами світу.

Архімед (287 – 212 р. до н.е.)

Народився Архімед близько 287 року до н. е. в Сіракузах на острові Сіцілія. Здобувши освіту у свого батька — астронома і математика Фідія, Архімед переїхав до Александрії удосконалювати свої знання з математики й астрономії. Тут він зблизився з учнями Евкліда — математиком Ератосфеном, астрономом Кононом і Досіфеєм. Повернувшись до Сіракуз, Архімед підтримував зв’язки з цими вченими. Частина його праць дійшла до нас у вигляді листів до видатних математиків.

Наукова діяльність Архімеда була пов'язана з життєвими потребами батьківщини. Учений проводив дослідження у галузі математики, фізики, механіки, астрономії, За переказами, він так захоплювався наукою, що забував навіть про їжу. Архімед був також видатним інженером-винахідником і брав безпосередню участь у підготовці оборонних споруд. Під час другої Пунічної війни він керував оборо­ною рідного міста. Війна велася між римлянами і карфагенянами (пупами), грецькі Сіракузи висту­пали на боці карфагенян. Коли рим­ське військо почало наступ з моря і суші, Архімед привів у дію скон­струйовані ним метальні машини. На сухопутне військо з величезною силою і швидкістю посипалося ка­міння. Цілі підрозділи ворогів па­дали на землю, руйнуючи свої бо­йові порядки. Водночас у море по­летіли з кріпосних стін важкі балки, зігнуті у вигляді рогів. Від їх силь­них ударів кораблі йшли на дно. Великі гаки, ніби залізними руками піднімали кораблі високо в повітря і кидали їх кормою в море або на скелі біля стін міста. Римське вій­сько було дуже налякане. Побачив­ши над стіною міста якусь палицю або канат, воїни кричали: «Ось, ось воно!» і з жахом розбігалися.

Грецький геометр і філософ Прокл, який жив у V ст. н. е., писав, що Архімед, крім описаних бойових машин, сконструював ще й таку, яка за допомогою системи дзеркал знищувала ворожі кораблі на морі.

Усе це змусило римлян відмови­тися від спроби захопити місто штурмом і перейти до блокади.

Восени 212 p., коли римляни на­решті оволоділи Сіракузами, Архі­мед трагічно загинув. Давньогрець­кий письменник Плутарх розповідає, що Архімед сидів, розмірковуючи над якоюсь геометричною фігурою, коли перед ним з’явився римський солдат і зажадав, щоб він пі­шов з ним до Марцелла (воєна­чальника). Але вчений відповів, що піде до Марцелла лише тоді, коли розв'яже задачу. Солдат обурився, вихопив меч і вбив Архімеда. Є й інші версії смерті видатного мате­матика і механіка.

До нас дійшли дев'ять праць Ар­хімеда, а саме: «Про кулю і ци­ліндр», «Про вимірювання круга», «Про коноїди і сфероїди», «Про спі­ралі», «Про рівновагу площин», «Про число піщинок», «Про квадра­туру параболи», «Про плаваючі ті­ла» і «Леми».

Частина праць Архімеда загину­ла. З висловлювань деяких авторів і самого Архімеда можна зробити висновок, що загинули такі твори: «Про основи лічби», «Про много-гранники», «Про терези», «Про ва­желі». Не збереглися твори Архіме­да з оптики й астрономії, а також його міркування про календар.

Мабуть, найпершим твором Архі­меда був твір «Начала», в якому він виклав свої міркування про об­числення і лічбу. Збереглися лише окремі уривки з цього твору. Грець­ка система числення була важкою, недосконалою й незручною, бо ста­родавні греки позначали числа бук­вами алфавіту. Щоб відрізнити їх від букв тексту, вони користувались ще різними значками, рисками то­що. Архімед намагався вдосконали­ти ці обчислення і привести їх до певної системи. Відповідні мірку­вання він виклав у другому своєму творі «Псамміт» («Про число піщи­нок»). Він робить тут спробу обчис­лити, скільки піщинок містилося б у «всесвіті», тобто у сфері, центром якої була б Земля і яка охоплюва­ла б усі нерухомі зорі. Розв'язуючи цю задачу,Архімед створив систе­му числення, яка давала можливість зобразити числа довільної величи­ни. Буквами грецького алфавіту греки могли записати всі числа від 1 до 999; якщо застосувати допо­міжні знаки (коми, букву для по­значення десятків тисяч і т. д.), то можна було зобразити всі числа від 1 до 10⁸-1. Число 10⁸дістало назву октади Архімеда. Розроблена Архімедом система числення не була позиційною, бо не мала нуля.

Принципово нові ідеї і методи Архімед виклав у праці «Вимірювання круга». Учені намагалися і до Архімеда встановити величину відношення довжини кола до діаметра.

Архімед у своїх дослідженнях виходить з того, що довжина кола міститься між довжинами периметрів правильних вписаних і описаних многокутників з однаковою кількістю сторін і, якщо число сторін цих многокутників необмежено подвоювати, то їх периметри наближати­муться до своєї границі – довжини кола.Архімед почав робити обчислення з правильних шестикутників і довів його до правильного 96-кутника. Він довів, що коли діаметр кола взяти за одиницю, то величина периметра  правильного  вписаного 96-кутника буде більшою від 3 ¹⁰/₇₁   а величина периметра правильного описаного 96-кутника буде меншою за 3 ¹/₇ . Архімед у знайшов, що  "Пи"=3,14 з точністю до 0,01. Це значення числа "Пи" , тобто 22/7 називають Архімедовим.

У цій праці Архімед застосував знайдений ще Евдоксом метод, який дістав назву методу вичерпування.

Площу круга Архімед знаходить таким самим методом: він вписує круг і описує навколо нього правильні многокутники, поступово подвоюючи число їх сторін. Площа вписаного многокутника із збільшенням числа його сторін збільшу­ється, наближаючись до площі кру­га, яка нібито поступово «вичерпу­ється» (звідки й назва «метод вичерпування»). Площа описаного многокутника, навпаки, зменшуєть­ся. В обох випадках площі много­кутників будуть наближатись до площі круга. Доведення за допомо­гою методу вичерпування базується на тому, що різниця площ многокут­ників може стати меншою від як завгодно малої наперед заданої ве­личини.

Визначення площі круга Архімед починає з доведення теореми, відо­мої ще до Евкліда: площа круга до­рівнює площі прямокутного трикут­ника, в якого більший катет дорів­нює довжині кола, а менший – ра­діусу круга. Це доведення, яке про­водиться методом від супротивного, зводиться до доведення тверджень, що площа круга не може бути ні більшою, ні меншою за площу та­кого трикутника. Архімед успішно застосовує метод вичерпування і для знаходження площі параболічного сегмента, тобто площі, обмеженої дугою параболи і хордою.

Ці дослідження Архімеда були першим кроком на шляху до аналі­зу нескінченно малих величин.

У праці «Про циліндр і кулю» Архімед також застосовує метод ви­черпування для визначення повер­хонь і об'ємів круглих тіл – цилінд­ра, конуса і кулі.

Про свої відкриття Архімед пи­сав математикові Досіфею: «Я до­вів, що поверхня всякої кулі в чоти­ри рази більша від площі її вели­кого круга, що об'єм циліндра, основа якого дорівнює площі вели­кого круга кулі, а висота – діамет­ру кулі, в півтора рази більший від об'єму цієї кулі, а його поверхня (включаючи і площі основ) у півто­ра рази більша від поверхні кулі; піраміда дорівнює третині призми, якщо вони мають рівні основи і ви­соти, а конус – третині циліндра (про конус знав і Евдокс). Зрозу­міло, що ці властивості тіла мали завжди, але видатні геометри, які жили до Евдокса, не знали цих вла­стивостей і ніхто з них не відкрив їх». Ці відкриття Архімед вважав дуже важливими і висловлював ба­жання, щоб на його могилі встано­вили пам'ятник, на якому був би зображений циліндр з вписаною в нього кулею.

У 1906 р. датський філолог і ма­тематик Гейберг, вивчаючи старо­грецькі рукописи у бібліотеках Стамбула (Туреччина), натрапив на звиток, у якому були три не відомі до того твори Архімеда: дві праці «Про плаваючі тіла» і одна праця, в якій Архімед висловлює думки про механічні методи дослі­джень, так званий «Ефодік». У тво­рі «Ефодік» вміщено лист Архімеда до відомого математика Ератосфена. В ньому Архімед пише: «Оскіль­ки, звичайно, я в твоїй особі... ціную дуже серйозного вченого і видатно­го філософа, то я вважаю за до­цільне висвітлити в цій книзі своє­рідний метод і так пояснити його, щоб ця праця послужила і для тебе стимулом у дослідженнях деяких математичних питань за допомогою механіки». Справді, Архімед спочат­ку застосовував метод зважування на рівноплечому  важелі,  а  потім проводив геометричне доведення ме­тодом вичерпування.

Особливо важливий твір Архіме­да «Про плаваючі тіла». У ньому викладено закони гідростатики, які не втратили свого значення й до на­ших днів. Існує цікава легенда про історію відкриття «закону Архіме­да». Сіракузький цар Гієрон нака­зав майстрові виготовити корону з чистого золота. Коли корона була готова, цар доручив Архімедові пе­ревірити, чи справді це чисте золо­то. Архімед довго міркував над тим як це зробити, але нічого не міг придумати, адже корона мала неправильну форму і тому не можна було обчислити її об'єм. Одного разу, купаючись у ванні, Архімед звернув увагу на те, що його тіло у воді стає легшим. Раптом йому спало на думку, як можна розв'язати поставлену проблему. Він так розхвилювався що вискочив з ванни і побіг вулицею, вигукуючи: «Еврика, еврика! («Знайшов, знайшов!»). І справді, зваживши у воді спочатку кусок чистого золота, кусок срібла, потім корону, Архімед установив, що корона була не з чистого золота.

У книжці «Про рівновагу і визначення центра ваги плоских фігур» Архімед уперше доводить відоме правило важеля: нерівні тягарі перебувають у рівновазі на важелі, якщо відстані центрів тягарів від точки опори важеля обернено пропорційні їх вагам. У цій самій праці Архімед визначає центри ваги прямокутників, паралелограмів, трикутників і т. д. Є всі підстави припускати, що тут він установив саме поняття центра ваги тіла: це така точка, в якій досить підтримати тіло, щоб воно було в рівновазі у будь-якому положенні.

Цікаві властивості встановив Архімед, досліджуючи спіральні лінії, такі були відкриті його другом Кононом. Криві цього виду мають назву архімедових спіралей, бо саме Архімед відкрив і довів найголовніші властивості їх.

Архімедова спіраль утворюється рівномірним рухом точки по прямій і одночасним рівномірним обертанням цієї прямої навколо однієї із своїх точок.

Архімедову спіраль використову­ють у техніці як профіль кулачка в кулачкових механізмах, у самоцентруючих патронах металооброб­них верстатів тощо.

Слід згадати ще про винайдений Архімедом гідравлічний гвинт. Це відкрита з обох боків циліндрична труба, по осі якої обертається вал з гвинтовою поверхнею. Гідравлічний гвинт застосовують для підні­мання рідин, сипких тіл тощо. Ре­конструйовані і вдосконалені гвин­ти Архімеда і нині рухають морські кораблі, гвинтові літаки та вертольоти, гідротурбіни тощо.

Є певні відомості, що Архімед розробляв питання оптики (залом­лення світла) і астрономії. Виготов­лена Архімедом модель небесної сфери створювала правдиву карти­ну руху небесних світил. Ціцерон (давньоримський політичний діяч і оратор І ст. до н. е.) свідчить, що він бачив цю дивну модель на влас­ні очі.

На закінчення слід підкреслити, що творчість Архімеда становить ці­лу епоху в розвитку математики взагалі. Архімед, створивши метод вичерпування, вніс величезний вклад у ту галузь математики, що зараз займається аналізом нескінченно малих величин. Він створив першо­основу для успішного розвитку но­воїматематики в блискучих працях Ньютона, Лейбніца та інших мате­матиків XVII ст. у галузі інтеграль­ного та диференціального числень.

Омар Хайям (1048-1123 pp.)

Омар Хайям належить до найталановитіших арабських математи­ків.

Народився він близько 1040 р. в персидському місті Нішапурі.

Відомостей про життя Омара Хайяма дуже мало. Відомо, що вчився і виховувався він з двома іншими юнаками, які пізніше стали відомими в Східному Арабському халіфаті. Один з них займав висо­кий пост візира при сельджуцькому султані Малік-Шаху і не раз про­понував Омару Хайяму зайняти ви­соку посаду в адміністративному управлінні. Але той завжди відмов­лявся, щоб бути вільним для занять науками і літературою.

Політична обстановка змушува­ла його багато мандрувати. Від яки­хось невідомих нам ворогів він утік до Самарканда. Працював Омар Хайям у різних містах Середньої Азії та Ірану – Ісфагані, Реї тощо. Близько   1074   р.   Хайям   написав книжку «Мемуар Омара Хайяма про алгебраїчні доведення». Того ж року він був запрошений султаном Малік-Шахом на посаду головного астронома нової обсерваторії в Ісфагані. За наказом султана Омар Хайям підготував реформу календа­ря, але вона не була проведена че­рез смерть Малік-Шаха. Виправлен­ня календаря він пропонував про­вести так: додавати сім раз підряд до кожного четвертого року встав­ний 366-й день, на восьмий раз до­давати вставний день після п'яти років. Таке літочислення, як вияви­лось, мало чим відрізняється від су­часного календаря. З математичних праць Омара Хайяма найвідоміші «Мемуар Омара Хайяма про алгеб­раїчні доведення» і «Коментарі до важких постулатів книги Евкліда». У вступі до першого твору автор дає означення алгебри як науки, ме­тою якої є визначення невідомих – як числових, так і геометричних. Хайям розглядає розв'язування тільки алгебраїчних рівнянь. Він до­кладно аналізує існування різних типів рівнянь I, II і III степеня і по­казує на прикладах їх розв'язуван­ня геометричним способом. Омар Хайям першим розробив повну і си­стематичну теорію розв'язування рівнянь III степеня за допомогою конічних перерізів. Наполегливі шу­кання математиками алгебраїчного розв'язування цих рівнянь не при­несли позитивних результатів. Чис­лові рівняння III степеня були роз­в'язані лише в XVI ст. італійськими вченими Ферро, Тарталья і Карда­не

У другому творі Хайям надає ве­ликого значення проблемі паралель­них ліній. Він пропонує замінити V постулат Евкліда іншим, який ко­лись висловив ще Арістотель: «Дві прямі, що сходяться (зближуються) одна з одною, перетинаються, і не­можливо, щоб дві прямі, які схо­дяться (зближуються), розходились у напрямі сходження». Омар Хайям бере чотирикутник, що складається з відрізка АВ, двох рівних перпен­дикулярів АС і BD, поставлених з кінців відрізка АВ і відрізка CD.Якими будуть верхні кути чотири­кутника: 1) обидва гострі, 2) тупі або 3) прямі? Після довгих мірку­вань він доводить, що верхні кути мають бути прямі, і робить висно­вок, що теорему доведено. Але це доведення було помилковим. Цей чотирикутник набув в історії мате­матики широкої популярності, його називають «чотирикутником Хайя-ма-Саккері» (Саккері — італійський учений-чернець, який у 1733 р. об­ґрунтовував доведення V постулату Евкліда на такому самому чотири­кутнику).

Омар Хайям відомий не тільки як математик, а і як письменник та поет, його літературні твори напи­сані перською мовою. Омар Хайям – класик перської і таджицької літе­ратур. У своїх рубаях (невеликих віршах) він оспівував почуття ко­хання й свободи, сумував з приводу скороминучості й недосконалості життя на землі, висміював офіційну релігію. «Рубайят» – класичний твір персько-таджицької поезії.

На українську мову твори Хайя­ма перекладав відомий учений, про­фесор Московського інституту схід­них мов А. Кримський.

Омар Хайям залишив ще твори з фізики й філософії.

Помер учений у 1123 р. У 1934 р. в Нішапурі на могилі Омара Хайя­ма споруджено монументальний обеліск-пам'ятник ученому і поету